Последната редакция на тази книга е от 2021 година.

IV.4.3.1 Определяне на остатъка при целочислено деление

Вече многократно, във връзка с обяснения, имащи отношение към операция деление Z=X/Y, показахме, че като най-сложна, тази операция, за разлика от всички други, генерира два самостоятелни резултата, имащи отношение към разнообразни изисквания в изчислителните алгоритми. Тези два резултата са частното Z и остатъкът R. Тези два резултата могат да се използват в следното определение на операция деление: Z.Y+R=X.

Ще припомним още, че

при което Y се нарича модул за сравнение на числото X с други числа, които имат същия остатък R, както и още, че частното Z, в тази постановка, се определя като коефициент на кратност на модула. Точно в тази интерпретация, числото X може да се изрази чрез коефициента за кратност Z, модула за сравнение Y и остатъка, или още изображението R, така X=Z.Y+R.

В глава 3 на книга [1] читателят може да се запознае с определящите операция деление алгоритми, след прилагането на които се получава най-често търсеният резултат, а именно частното. Машинните команди на цифровите процесори обаче, както и тяхната апаратна обезпеченост, са създадени така, щото те изчисляват винаги и двата резултата независимо от желанията на потребителя. Двете числа остават на негово разположение в два различни регистъра в АЛУ.

Читателят вероятно вече разбира, че ние не можем да оставим без числена илюстрация резултата, за който тук говорим, ето защо този раздел е посветен на него. По-долу са представени няколко числени примера, които авторът счита за достатъчни при усвояване на този проблем. Теоретично, определянето на остатъка, е изложено в раздел 3.2.6 от книга [1]. За да положим връзка на теорията с практиката, тук по-долу ще припомним част от теоретичните зависимости. Освен това, за разбиране на написаното по-долу, авторът предполага, че читателят владее съответните алгоритми за деление, както и терминологията, свързана с тях.

И така, след съответни замествания в лявата част на равенството (3.2.6.10.а) (вижте в книга [1]), се стига до следното равенство

Горното равенство е забележително с това, че то изразява как може да се получи вторият резултат от операция деление, а именно остатъкът R_x от делението. Изводът е, че остатъкът R_x се съдържа в последния частичен остатък R_k-l+1, който следва да се измести на (k-l) бита надясно, за да се представи правилно като цяло число. Това число е със знак и ще бъде получено автоматично в допълнителен код.

Необходимо е още едно пояснение. Ако последното изваждане, при което се получава последният частичен остатък R_k-l+1, е било успешно, то той съдържа търсения остатък R_x. Ако обаче изваждането не е било успешно, то от последния частичен остатък R_{k-l+1
следва да се
възстанови
предидущия
частичен
остатък, в
който трябва
да се съдържа
търсения
остатък}R_{x. В крайна
сметка, както
читателят ще
може да се
увери от
представените
по-долу
числени
примери, може
да
формулираме
следното кратко
правило:}

Ако полученото частно е нечетно число, то остатъкът се съдържа в последната разлика.

Ако частното е четно число, тогава остатъкът се съдържа в предидущата разлика. В този случай се налага възстановяване на предидущата разлика.

Окончателният остатък се получава след аритметическо изместване надясно на (k-l) бита на съответния частичен остатък.

А) ДЕЛЕНИЕ ПО МОДУЛ

ПРИМЕР 91. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=31 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=6[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=6 и остатък R=1, т.е. 31=6.5+1 .

Дм = |X| = 0 11111 ; Дт = |Y| = 0 00101 .

N = 2 - 0 + 1 = 3 ( 3 неизвестни цифри на частното )

k-l = 2-0 = 2 - изместване на 2[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 92. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=32 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=7[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=6 и остатък R=2, т.е. 32=6.5+2 .

Дм = |X| = 0 100000 ; Дт = |Y| = 0 000101 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 93. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=33 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=7[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=6 и остатък R=3, т.е. 33=6.5+3 .

Дм = |X| = 0 100001 ; Дт = |Y| = 0 000101 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 94. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=34 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=7[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=6 и остатък R=4, т.е. 34=6.5+4 .

Дм = |X| = 0 100010 ; Дт = |Y| = 0 000101 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 95. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=127 и Y=11, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=11 и остатък R=6, т.е. 127=11.11+6 .

Дм = |X| = 0 1111111 ; Дт = |Y| = 0 0001011 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 96. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=126 и Y=11, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=11 и остатък R=5, т.е. 126=11.11+5 .

Дм = |X| = 0 1111110 ; Дт = |Y| = 0 0001011 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 97. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=125 и Y=11, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=11 и остатък R=4, т.е. 125=11.11+4 .

Дм = |X| = 0 1111101 ; Дт = |Y| = 0 0001011 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 98. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=120 и Y=11, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=10 и остатък R=10, т.е. 120=10.11+10 .

Дм = |X| = 0 1111000 ; Дт = |Y| = 0 0001011 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 99. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=119 и Y=11, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=10 и остатък R=9, т.е. 119=10.11+9 .

Дм = |X| = 0 1110111 ; Дт = |Y| = 0 0001011 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 100. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=119 и Y=10, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=11 и остатък R=9, т.е. 119=11.10+9 .

Дм = |X| = 0 1110111 ; Дт = |Y| = 0 0001010 .

N = 3 - 0 + 1 = 4 ( 4 неизвестни цифри на частното )

k-l = 3-0 = 3 - изместванe на 3[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 101. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=119 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=23 и остатък R=4, т.е. 119=23.5+4 .

Дм = |X| = 0 1110111 ; Дт = |Y| = 0 0000101 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

ПРИМЕР 102. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=113 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] . Следва да получим този отговор: частно Z=22 и остатък R=3, т.е. 113=22.5+3 .

Дм = |X| = 0 1110001 ; Дт = |Y| = 0 0000101 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Б) ДЕЛЕНИЕ НА ЧИСЛА, ПРЕДСТАВЕНИ В ДОПЪЛНИТЕЛЕН КОД

При деление на числа в допълнителен код на всеки такт трябва да се определя поредната цифра, която се записва в частното, както и да се определя следващата операция. Освен това в края на делението трябва да се извършва проверка за необходимост от корекция на частното. Ако такава е необходима, то в края на делението, към частното се прибавя единица. Тъй като числата със знак, остатъкът носи знака на делимото, но само ако частното е отрицателно (т.е. операндите са с различни знаци). Остатъкът се получава в допълнителен код.

ПРИМЕР 103. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=113 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-22 и остатък R=+3, т.е. 113=(-22).(-5)+3 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 104. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-113 и Y=5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-22 и остатък R=-3, т.е. (-113)=(-22).(5)-3 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 105. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-113 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=22 и остатък R=-3, т.е. (-113)=22.(-5)-3 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция, Z=22.

ПРИМЕР 106. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+119 и Y=+5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+23 и остатък R=+4, т.е. 119=23.5+4 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция, Z=+23.

ПРИМЕР 107. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+119 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-23 и остатък R=+4, т.е. 119=(-23).(-5)+4 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 108. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-119 и Y=+5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-23 и остатък R=-4, т.е. (-119)=(-23).(+5)-4 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 109. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-115 и Y=+5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-23 и остатък R=0, т.е. (-115)=(-23).(+5)+0 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция [Z]_ДК = 1 1101001 , чийто прав код е [Z]_ПК = 1 0010111 , което е Z = -23 .

ПРИМЕР 110. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-115 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+23 и остатък R=0, т.е. (-115)=(23).(-5)+0 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 111. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-116 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+23 и остатък R=-1, т.е. (-116)=(23).(-5)-1 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция Z=+23 .

ПРИМЕР 112. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-131 и Y=-5, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=9[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+26 и остатък R=-1, т.е. (-131)=(26).(-5)-1 .

N = 5 - 0 + 1 = 6 ( 6 неизвестни цифри на частното )

k-l = 5-0 = 5 - изместванe на 5[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция Z=+26 .

ПРИМЕР 113. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-238 и Y=-14, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=9[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+17 и остатък R=0, т.е. (-238)=(+17).(-14)+0 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 114. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+97 и Y=+7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+13 и остатък R=+6, т.е. 97=13.7+6 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция Z=+13 .

ПРИМЕР 115. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+97 и Y=-7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-13 и остатък R=+6, т.е. 97=13.7+6 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 116. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-97 и Y=+7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-13 и остатък R=-6, т.е. (-97)=(-13).7-6 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 117. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-97 и Y=-7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+13 и остатък R=-6, т.е. (-97)=13.(-7)-6 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция Z=+13 .

ПРИМЕР 118. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+100 и Y=+7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+14 и остатък R=+2, т.е. 100=14.7+2 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното: в този случай частното не се нуждае от корекция Z=+14 .

ПРИМЕР 119. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=+100 и Y=-7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-14 и остатък R=+2, т.е. 100=(-14).(-7)+2 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 120. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-100 и Y=+7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=-14 и остатък R=-2, т.е. (-100)=(-14).7-2 .

N = 4 - 0 + 1 = 5 ( 5 неизвестни цифри на частното )

k-l = 4-0 = 4 - изместванe на 4[b] за формиране на остатъка.

Корекция на частното:

ПРИМЕР 121. Да се изпълни операция деление Z=X/Y на числата X=-100 и Y=-7, които са представени в разрядна мрежа с дължина n=8[b] в допълнителен код. Следва да получим този отговор: частно Z=+14 и остатък R=-2, т.е. (-100)=14.(-7)-2 .